exercice loi binomiale sti2d

Pour tout entier $k$ où $0\leq k\leq n$, on a \[P(X=k)=\binom{n}{k}\times \left(\dfrac{1}{2}\right)^k\times\left( \dfrac{1}{2}\right)^{n-k}\]. Loi binomiale (2020) 10 contrôle du 25 01 2021; 10 contrôle du 25 01 2021 : correction; Chapitre 11 : Variables aléatoire, concentration et loi des grands nombres Loi binomiale probabilités conditionnelles, lois de probabilité . Pour tout entier $k$ où $0\leq k\leq 10$, on a \[P(X=k)=\binom{10}{k}\times \left(0,05\right)^k\times\left( 0,95\right)^{10-k}\], 2ND DISTR 0binomFdP( 10 , 0.05,2)EXE Avec une calculatrice de type TI $binomFdP(10,0.05,2) \approx 0.075$, 2ND DISTR AbinomFRép( 10 , 0.05,2)EXE Avec une calculatrice de type TI \[binomFR\text{é}p(10,0.05,2) \approx 0.988\]. \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}} On répète trois fois de suite cette expérience de façon indépendante et donc. La loi binomiale a été introduite par le mathématicien suisse Jacques Bernoulli (1654-1705) qui y fait référence dans son ouvrage Ars Conjectandi publié en 1713.. La loi binomiale a été utilisée par plusieurs scientifiques pour réaliser des calculs dans des situations concrètes. Une Histoire des Mathématiques. On admet que X suit une loi binomiale de paramètres 200 et p, et, qu’en moyenne chaque lot de 200 boîtes en contient 6 non conformes. Exercice 2 (Bac STI2D Nouvelle Calédonie 2013) Ex3A - Loi binomiale (exercices basiques) - CORRIGE. On lance 2 dés puis on totalise les points marqués. D'après ce tableau , l'événement $S\geq8$ est réalisé (5+4+3+2+1 ) soit 15 fois. [} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}} \newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} Pour tout entier $k$ où $0\leq k\leq 20$, on a \[P(X=k)=\binom{20}{k}\times \left(\dfrac{5}{12}\right)^k\times\left( \dfrac{7}{12}\right)^{20-k}\]. \newcommand{\mtn}{\mathbb{N}} \DeclareMathOperator{\comat}{comat} org cours de mathématiques de 1re STI2D - Schéma de Bernoulli – Loi binomiale }\], \[P( X = 2)\approx 0.075 \text{ à } 10^{-3} \text{ près. Comment calculer l'espérance d'une loi binomiale. Une entreprise fabrique en grande quantité des tubes en aluminium. GT pédagogie différenciée en physique-chimie – Académie de Strasbourg Page 1 / 12 Niveau : 1ère STI2D - 1ère STL (thème : Habitat) Type de ressources : Evaluation sommative différenciée de fin de séquence Notions et contenus : Mesures dans un circuit électrique Loi des mailles, lois des noeuds Déterminer les caractéritiques d'une tension sinusoïdale \DeclareMathOperator{\rang}{rg} 1) Justifier que la réalisation d’un forage peut être assimilée à une épreuve de Bernoulli. EXERCICE 2 : (Bac STI2D Nouvelle Calédonie 2013) 1 | 2 Page Suivante. Combien doit-il tirer de coups afin que la cible soit atteinte avec une probabilité supérieure ou égale à 0,95 ? 1.DonnerlaloideZ. Cours de Première STI 2D 7 Soit X˘ B(n;p). III) Loi binomiale 1) Définition On considère une épreuve de Bernoulli dans laquelle la probabilité du succès est On répète fois cette épreuve de façon identique et indépendante. Exercice math loi binomiale correction prof en ligne 04/11/2020 04/14/2020 bofs Correction math livre mission indogo 4eme. \newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} Publié dans Exercices en TS. \DeclareMathOperator{\th}{th} D'après un théorème du cours $E(X)=n\times p$ ici $E(X)=np=3\times 0,7=2,1$. Dans cet exercice, les résultats approchés sont à arrondir à 10-3. 2ND DISTR 0binomFdP( 20 , 5/12,10)EXE Avec une calculatrice de type TI $binomFdP(20,5/12,10) \approx 0.133$, \[ Source Cours-Probabilites-Exercices-1STI2D Fichier Type: Cours File type: Latex, tex (source) TÃ©lÃ©charger le document pdf compilÃ© Description Exercices (non corrigÃ©s) de mathÃ©matiques 1Ã¨re STI2D - probabilitÃ©s Niveau PremiÃ¨re STI2D Mots clÃ© probabilitÃ©s, loi binomiale, schÃ©ma de Bernoulli, cours de mathÃ©matiques, maths, premiÃ¨re, 1Ã¨re, STI2D Entraîne-toi avec des exercices sur le sujet suivant : Loi de probabilités : variance et écart type, et réussis ton prochain contrôle de mathématiques en Terminale S (2019-2020) \DeclareMathOperator{\diam}{diam} COURS > Terminale STI2D > Loi normale. }\], \[P( X \leq 2)\approx 0.988 \text{ à } 10^{-3} \text{ près. Exercice 3. Document Adobe Acrobat 260.7 KB. Classe de Première STI2D - cours Marc Bizet - 1 - Probabilité - schéma de Bernoulli - loi binomiale 1. Au bout de 20 lancers quelle est la probabilité d’avoir obtenu 10 fois un total supérieur ou égal à 8 ? Se préparer aux contrôles. Justifier que p = 0,03. \newcommand{\mtk}{\mathbb{K}} \DeclareMathOperator{\sh}{sh} On admet que X suit une loi binomiale de paramètres 200 et p, et, qu’en moyenne chaque lot de 200 boîtes en contient 6 non conformes. Un insecte pond des oeufs suivant une loi de Poisson P( ). \DeclareMathOperator{\imv}{Im} http://jaicompris.com/lycee/math/probabilite/loi-binomiale/loi-binomiale.phpUn commercial doit rendre visite à 5 clients. bac blanc du 11 avril 2014 Corrigé de l'exercice 3. BAC STI2D STL -métropole juin 2017- Ex3 B Loi binomiale et loi normale Le site de Mme Heinrich est un site de Madame. Les Mathématiciens; Liste complète; Les Symboles Mathématiques \], \[P( X = 2)\approx 0.441 \text{ à } 10^{-3} \text{ près. Exercice Bac STI2D & STL - juin 2017 Intervalle de fluctuation, lois binomiale et normale Un chef cuisinier décide d'ajouter un "menu terroir" à la carte de son restaurent. Justiﬁer que p = 0,03. Probabilités Considérons une urne contenant des boules de 4 couleurs différentes : bleues (B), ivoires (I), rouges (R) et noires (N). On répète ainsi la même expérience (lancer un dé) et les expériences sont indépendantes l'une de l'autre (un lancer n'influence pas le résultat d'un autre \DeclareMathOperator{\ch}{ch} La longueur des tubes est exprimée en millimètres. On considère un lancer de 2 dés , deux issues sont possibles: On répète $20$ fois, de façon indépendante, l’expérience « un joueur effectue un lancer de 2 dés » qui comporte 2 issues : Nous sommes donc en présence d’un schéma de Bernoulli et la variable aléatoire $X$ prenant pour valeurs le nombre de succès obtenus suit la loi binomiale de paramètres $20$ et $\dfrac{5}{12}$ notée $\mathscr{B}(20;\dfrac{5}{12})$ . contrôles en terminale STI2D. En cas d'erreur dans un fichier ou pour toutes autres questions n'hésitez pas à me contacter à l'adresse : prof@math-baudon.fr. Considèrons l'univers $\Omega$ des couples $(a,b)$ où $a \in[0;6]$ et $b \in [0;6]$. Un tireur vise une cible avec une chance sur deux de la toucher. Menu. A l'aide d'une calculatrice on obtient la loi de probabilité de $X$: 2ND DISTR 0binomFdP( 3 , 0.7,2)EXE Avec une calculatrice de type TI $binomFdP(3,0.7,2) \approx 0.441$, Remarque: Sur TI 89 on peut créer un fonction ou un programme sur la calculatrice, si on veut afficher directement la loi de probabilité de $X$, $F$ la fonction de répartition de $X$ est définie par $F(x)=P(X\leq x)$. \newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} Mathématiques – Séries S – ES/L – STMG – STI2D ... Si X suit la loi binomiale alors est centrée réduite. 1. Dans une académie, les élèves candidats au baccalauréat série ES se répartissent en 2003 selon les trois enseignements de spécialité : mathématiques, sciences économiques et sociales et langue … \newcommand{\mcun}{\mcu_n} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}} Notions en vidéos. a) Combien doit-il tirer de coups afin que la cible soit atteinte avec une probabilité supérieure ou égale à 0,95 ? Probabilités conditionnelles. \newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}} \newcommand{\veps}{\varepsilon} Immobilière, recours à l’esprit et parcourt 63 km. Avec nos notations, l'événement :"On obtient 10 fois une somme supérieure ou égale à 8" s'écrit $X=10$. Calculer la probabilité qu’il y ait au moins deux boîtes non conformes dans ce lot de 200 boîtes. On suppose que pour chaque personne la probabilité que le portique sonne est égale à $0,021~92$. \newcommand{\croouv}{[\! Ex3B - Loi binomiale - CORRIGE.pdf. \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} On répète $10$ fois, de façon indépendante, l’expérience « on tire au hasard une pièce dans la production » qui comporte 2 issues : Nous sommes donc en présence d’un schéma de Bernoulli et la variable aléatoire $X$ prenant pour valeurs le nombre de succès obtenus suit la loi binomiale de paramètres $10$ et $0,05$ notée $\mathscr{B}(10;0,05)$ . b) Même question lorsque le tireur a une chance sur trois de toucher la cible. \DeclareMathOperator{\vect}{vect} \DeclareMathOperator{\card}{card} Calculer la probabilité qu’il y ait au moins deux boîtes non conformes dans ce lot de 200 boîtes. Loi de probabilité à densité. Probabilit s - Loi binomiale - Exercices Author: Yoann Morel Subject: Exercices mathématiques: Probabilités Keywords: Math matiques, 1STI, 1STI2D, premi re, STI, STI2D, probabilit s, arbre, arbre pond r , arbre de probabilit s, r p tition d'exp riences, loi binomiale Created Date: 5/21/2013 10:03:31 PM Télécharger. \newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}} Loi binomiale. Accueil; Histoire des Maths. \DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} Il tire 3 fois de suite. }\], \[P( X = 10)\approx 0.133 \text{ à } 10^{-3} \text{ près. exercice 1. Le cours et les exercices sur la loi normale. Bac S – Pondichéry / Centres étrangers – Juin 2019, Bac S – Nouvelle Calédonie – Novembre 2019, Bac S – Nouvelle Calédonie – Février 2020, Bac S – Nouvelle Calédonie – Décembre 2020, Bac ES/L – Pondichéry / Centres étrangers – Juin 2019, Bac ES/L – Antilles Guyane – Septembre 2019, Bac ES/L – Amérique du Sud – Novembre 2019, Bac ES/L – Nouvelle Calédonie – Novembre 2019, Bac ES/L – Antilles Guyane – Septembre 2020, Bac ES/L – Nouvelle Calédonie – Décembre 2020, Bac STMG – Centres étrangers / Pondichéry – Juin 2019, Bac STMG – Antilles Guyane – Septembre 2019, Bac STMG – Nouvelle Calédonie – Novembre 2019, Bac STMG – Antilles Guyane – Septembre 2020, Bac STMG – Nouvelle Calédonie – Novembre 2020, DNB – Centres étrangers, Pondichéry – Juin 2019, DNB – Métropole Antilles Guyane- Septembre 2020. Loi Binomiale Exercice n° 17. Publié par Luc GIRAUD. Alors : E(X) = np V(X) = np(1 p) ˙(X) = p np(1 p): Propriété 5. \newcommand{\mtr}{\mathbb{R}} \newcommand{\dis}{\displaystyle} La cible soit atteinte signifie ici , avec nos notations $X\geq 1$, On cherche ici $n$ tel que $P(X\geq 1) \geq 0,95$, Déjà en utilisant l'événement contraire, on a $P(X\geq 1)=1-P(X=0) =1-\left(\dfrac{1}{2}\right)^n$, \[\begin{array}{lll} P(X\geq 1) \geq 0,95&\iff 1-\left(\dfrac{1}{2}\right)^n \geq 0,95& \\ &\iff -\left(\dfrac{1}{2}\right)^n \geq -0,05&\\ &\iff \left(\dfrac{1}{2}\right)^n \leq 0,05&\\ & \iff \ln\left(\left(\dfrac{1}{2}\right)^n\right)\leq \ln (0,05)& \text{ en appliquant la fonction } \ln \\ && \text{ qui est strictement croissante sur } ]0;+\infty[.\\ & \iff n\times \ln \left(\dfrac{1}{2}\right)\leq \ln (0,05)& \\ & \iff n \geq \dfrac{\ln (0,05)}{\ln \left(\dfrac{1}{2}\right)} & \text{ car ayant } 0 < \dfrac{1}{2} < 1 \text{ on déduit} \\ & & \ln \left(\dfrac{1}{2}\right)< \ln (1) \text { soit } \ln \left(\dfrac{1}{2}\right) < 0 \end{array}\]. Probabilités : loi binomiale des exercices avec corrig ... Exercice 1 . Algorithmes : Loi binomiale. \newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} Le cours sur la loi uniforme et la loi exponentielle. Concours mathématiques Seconde Mathématiques sans frontières: La classe, ensemble, essaye … Probabilité ... variance et écart type. Cours; Cours vidéo; On appelle "échec $E$ " le tireur râte la cible" avec la probabilité $q=0,3$. Exercice 13. On répète $n$ fois, de façon indépendante, l’expérience « le tireur vise la cible » qui comporte 2 issues : Nous sommes donc en présence d’un schéma de Bernoulli et la variable aléatoire $X$ prenant pour valeurs le nombre de succès obtenus suit la loi binomiale de paramètres $n$ et $\dfrac{1}{2}$ notée $\mathscr{B}(n;\dfrac{1}{2})$ . Conjecturer une formule très simple permettant d'obtenir l'espérance d'une loi binomiale B(n;p). ... Annales STI2D. Ex3B - Loi binomiale - CORRIGE. Preuve Sur son trajet quotidien qui le conduit de son domicile à son lieu de traail,v un auto- On répète $n$ fois, de façon indépendante, l’expérience « le joueur lance un dé bien équilibré » qui comporte 2 issues : Nous sommes donc en présence d’un schéma de Bernoulli et la variable aléatoire $X$ prenant pour valeurs le nombre de succès obtenus suit la loi binomiale de paramètres $n$ et $\dfrac{1}{6}$ notée $\mathscr{B}(n;\dfrac{1}{6})$ . Loi binomiale 10 Cours : Rappels de probabilité. Donc $P(S\geq8)=\dfrac{Card(S\geq8)}{(Card(\Omega)}= \dfrac{15}{36}=\dfrac{3\times 5}{3\times 12}=\dfrac{5}{12}$. En cas d'erreur dans un fichier ou pour toutes autres questions n'hésitez pas à me contacter à l'adresse : prof@math-baudon.fr. Correction maths 1ère sti2d … Comme $\dfrac{\ln (0,05)}{\ln \left(\dfrac{2}{3}\right)}\approx 7,39$ il faut donc dans ces conditions que le tireur vise la cible 8 fois pour qu'il atteigne au moins une fois avec une probabilité supérieure ou égale à 0,95 . \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)} Pour tout entier $k$ où $0\leq k\leq n$, on a \[P(X=k)=\binom{n}{k}\times \left(\dfrac{1}{6}\right)^k\times\left( \dfrac{5}{6}\right)^{n-k}\], Déjà en utilisant l'événement contraire, on a $P(X\geq 1)=1-P(X=0) =1-\left(\dfrac{1}{6}\right)^n$, \[\begin{array}{lll} P(X\geq 1) \geq 0,95&\iff 1-\left(\dfrac{1}{6}\right)^n \geq 0,95& \\ &\iff -\left(\dfrac{1}{6}\right)^n \geq -0,05&\\ &\iff \left(\dfrac{1}{6}\right)^n \leq 0,05&\\ & \iff \ln\left(\left(\dfrac{1}{6}\right)^n\right)\leq \ln (0,05)& \text{ en appliquant la fonction } \ln \\ && \text{ qui est strictement croissante sur } ]0;+\infty[.\\ & \iff n\times \ln \left(\dfrac{1}{6}\right)\leq \ln (0,05)& \\ & \iff n \geq \dfrac{\ln (0,05)}{\ln \left(\dfrac{1}{6}\right)} & \text{ car ayant } 0 < \dfrac{1}{6} < 1 \text{ on déduit} \\ & & \ln \left(\dfrac{1}{6}\right)< \ln (1) \text { soit } \ln \left(\dfrac{1}{6}\right) < 0 \end{array}\]. Même question lorsque le tireur a une chance sur trois de toucher la cible. Exercice 1 d’après Liban mai 2018 $80$ personnes s’apprêtent à passer le portique de sécurité. 2. Cours de seconde de probabilités - Cours de première STI2D. On est donc en présence d'un schéma de Bernoulli: On appelle succés $S$ " le tireur atteint la cible" avec la probabilité $p=0,7$. « le tireur atteint la cible » considéré comme succès, de probabilité $p=\dfrac{1}{2}$, « le tireur râte la cible » considéré comme échec, de probabilité $q=1-p=\dfrac{1}{2}$, « la pièce va au rebut » considéré comme succès, de probabilité $p=0,05$, « la pièce ne va pas au rebut » considéré comme échec, de probabilité $q=1-p=0,95$, « le joueur obtient un 6 » considéré comme succès, de probabilité $p=\dfrac{1}{6}$, « le joueur n'obtient pas un 6 » considéré comme échec, de probabilité $q=1-p=\dfrac{5}{6}$, « La somme des deux numéros est supérieure ou égale à 8 » considéré comme succès, de probabilité $p=\dfrac{5}{12}$, « La somme des deux numéros est strictement inférieure à 8 » considéré comme échec, de probabilité $q=1-p=\dfrac{7}{12}$. Exercices supplémentaires : Loi binomiale Partie A : Loi binomiale Exercice 1 Dans une région pétrolifère, la probabilité qu’un forage conduise à une nappe de pétrole est 0,1. \newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} Loi binomiale (2020) 10 Exercices : Rappels de probabilité. Ex4A - Echantillons et fluctuations - CORRIGE. En particulier $P(X=0)= \binom{n}{0}\left(\dfrac{1}{3}\right)^0\times \left(\dfrac{2}{3}\right)^{n-0}=\left(\dfrac{2}{3}\right)^n$. Télécharger. vant chacune une loi de Poisson (de paramètre respectif et ) suit encoreuneloidePoisson. S'appuyant sur sa longue expérience, le restaurateur pense qu'environ 30% des clients choisiront ce menu. \newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} $X$ prend les valeurs entières $k$ où $0\leq k\leq 3$ et $P(X=k)=((3),(k))*0,7^k*0,3^(3-k)$. Les mathématiques en première ES/L et en terminale ES : Loi Binomiale. \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}} Entraîne-toi avec des exercices sur le sujet suivant : Diagramme en barre associé à une loi binomiale, et réussis ton prochain contrôle de mathématiques en Terminale - Option mathématiques complémentaires Chaque boule porte les numéros 1, 2 ou 3. }\], Probabilités : loi binomiale des exercices avec corrigé. \DeclareMathOperator{\supp}{supp} Devoir surveillé n°9 (1STI2D) ... n°9 (1STI2D) vendredi 13 juin 2014 par Admin. Enoncé A chaque tir la probabilité pour qu'un tireur touche la cible est 0,7. \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)} Exercices types : 1 1 1 ère partie. MATH BAUDON. On note i le nombre complexe de module 1 et d'argument π 2.. On considère les nombres complexes z 1 et z 2 définis par z 1 = 1-i et z 2 = e i ⁢ 5 ⁢ π 6. Comme $\dfrac{\ln (0,05)}{\ln \left(\dfrac{1}{2}\right)} \approx 4,32$ il faut donc dans ces conditions que le tireur vise la cible 5 fois pour qu'il atteigne au moins une fois avec une probabilité supérieure ou égale à 0,95 . \newcommand{\mcp}{\mathcal{P}} \newcommand{\crofer}{]\!]} Document Adobe Acrobat 296.3 KB. Comme $\dfrac{\ln (0,05)}{\ln \left(\dfrac{1}{6}\right)} \approx 16,43$ il faut donc dans ces conditions lancer le dé au moins 17 fois pour que l'on obtienne le 6 au moins une fois avec une probabilité supérieure ou égale à 0,95 . Annales STI2D 2013; Annales STI2D 2014; Annales STI2D 2015; Annales STI2D 2016; Déjà en utilisant l'événement contraire, on a $P(X\geq 1)=1-P(X=0) =1-\left(\dfrac{1}{3}\right)^n$, \[\begin{array}{lll} P(X\geq 1) \geq 0,95&\iff 1-\left(\dfrac{2}{3}\right)^n\geq 0,95&\\ &\iff -\left(\dfrac{2}{3}\right)^n\geq -0,05& \\ & \iff \left(\dfrac{2}{3}\right)^n\leq 0,05&\\ &\iff \ln (\left(\dfrac{2}{3}\right)^n)\leq \ln (0,05)& \text{ en appliquant la fonction } \ln \\ && \text{ qui est strictement croissante sur} ]0;+\infty[.\\ & \iff n\times\ln \left(\dfrac{2}{3}\right)\leq \ln (0,05)& \\ & \iff n \geq \dfrac{\ln (0,05)}{\ln \left(\dfrac{2}{3}\right)}& \text{ car ayant } 0<\dfrac{1}{3}<1 \text { on déduit} \ln \left(\dfrac{2}{3}\right)<\ln (1) \\ && \text{ soit } \ln \left(\dfrac{2}{3}\right)<0\\ \end{array}\]. Exercice 25. $ V(X)=n\times p\times q=3\times 0,7\times (1-0,7)=0,63$. Cours loi normale. On dit que est la variable aléatoire associée à ce schéma. \newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} Déterminons la loi de probabilité de $S$: la variable aléatoire égale à la somme des deux numéros. Chapitre 10 : Rappels sur les probabilités. \newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} $X$ la variable aléatoire égale au nombre de coups dans la cible est égale au nombre de succès , d'après le cours , $X$ suit la loi binômiale de paramètre 3 et 0,7. \newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*} … Ex3A - Loi binomiale (exercices basiques. Chaqueoeufàuneprobabilitéd’écloreavecuneprobabilitép,indépendante desautresoeufs.SoitZlenombred’oeufsquiontéclos. Accueil du site > Premières > Première STI2D > Les devoirs. Soit la fonction qui à chaque issue du schéma de Bernoulli prend pour valeurs le nombre de succès obtenus. Exercice 2. Un tireur vise une cible avec une chance sur deux de la toucher. parfenoff . \newcommand{\mcb}{\mathcal{B}} De moins en base est exercice math 5 eme et correction un produit scalaire. LOI BINOMIALE I. Répétition d'expériences identiques et indépendantes Exemples : 1) On lance un dé plusieurs fois de suite et on note à chaque fois le résultat. A chaque tir la probabilité pour qu’un tireur touche la cible est 0,7. Exercice 1. Déterminer une forme trigonométrique de z 1.. Déterminer l'écriture algébrique de z 2.. Soit Z = z 1 × z 2. Exercice 3 - Les lois continues - Fiche exercices maths Terminale … Entraîne-toi avec des exercices sur le sujet suivant : Exercice 1, et réussis ton prochain contrôle de mathématiques en Terminale S (2019-2020) \newcommand{\mch}{\mathcal{H}} \newcommand{\mtc}{\mathbb{C}} MATH BAUDON. Cette fois-ci $X$ la variable aléatoire égale au nombre de succès suit la loi binômiale de paramètre $n$ et $p=\dfrac{1}{3}$.$X$ prend les valeurs entières $k$ où $0\leq k\leq n$ et $P(X=k)=\binom{n}{k}\times \left(\dfrac{1}{3}\right)^k\times \left(\dfrac{2}{3}\right)^{n-k}$.